Théorie du contrôle

La théorie du contrôle a comme objet l'étude du comportement de dispositifs dynamiques paramétrés suivant les trajectoires de leurs paramètres.



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Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • ... PhysI-A14 : Contrôle optimal : théorie et applications... de regarder les dispositifs dynamiques comme systèmes transformateurs d'énergie.... (source : supelec)
  • Introduction; Obligation d'une approche dynamique ; Théorie de la dynamique... Modélisation de systèmes de contrôle dans les études de fiabilité/... (source : rufereq.asso)

La théorie du contrôle a comme objet l'étude du comportement de dispositifs dynamiques paramétrés suivant les trajectoires de leurs paramètres.

Le cadre formel

On se place dans un ensemble, l'espace d'état \mathcal{X} sur lequel on définit une dynamique. Le déroulement du temps est modélisé par un entier k\in\mathbb{Z}. La dynamique de l'état du dispositif (x_k)_{k\in\mathbb{Z}} ne dépend que de l'état du dispositif à l'état précédent et de la valeur d'un paramètre a priori exogène (le paramètre de contrôle) noté u et qui prend ses valeurs dans un ensemble \mathcal{U}.

La dynamique du dispositif est alors complètement définie par une fonction f:\mathcal{X}\times\mathcal{U}\times\mathbb{Z}\mapsto\mathcal{X} et un point de départ \xi\in\mathcal{X} ; elle s'écrit :

(D1)\;\; x_{k+1} = f(x_k, u_k, k),\; x_0 = \xi,\; u_k \in \mathcal{U}

La question principale de la théorie du contrôle est : quel est le comportement de x selon celui de u?, par exemple peut-on choisir une suite de contrôles u_1,u_2,\ldots,u_N de telle sorte que xN vale x *, une valeur cible choisie d'autre part?.

Le dispositif (D1) est discret (le temps ne prend que des valeurs entières) a un équivalent continu (le temps s'écoule continuement), qu'on peut écrire :

(D2)\;\; \dot x_t = g(x_t, u_t, t),\; x_0 = \xi,\; u_t \in \mathcal{U}

Dans ce contexte \dot x_t est la dérivée temporelle de x, il est par conséquent indispensable de pourvur \mathcal{X} d'une structure donnant accès à la dérivation (par exemple une structure d'espace vectoriel normé).

Quelques exemples

Ces exemples montrent que l'objectif du contrôle est qualitativement assez naturel. Par exemple pour une voiture, il s'agit de rester sur la route ou de gagner une course, pour le tennis de renvoyer la balle sur le cours, et pour la torpille de couler un navire qui se déplace.

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