Commandabilité
Un dispositif est dit commandable si quel que soit x l'état à l'instant d'origine, et quel que soit x l'état à l'instant final, il existe une commande u, appliquée sur un intervalle de temps fini, qui sert à rejoindre l'état final partant de l'état d'origine.
Un dispositif est dit commandable si quel que soit x (ti) l'état à l'instant d'origine, et quel que soit x (tf) l'état à l'instant final, il existe une commande u (t) , appliquée sur un intervalle de temps fini [ti;tf], qui sert à rejoindre l'état final partant de l'état d'origine.
On considérera dans cet article les dispositifs linéaires invariants (SLI) définis par la représentation d'état suivante :
Dispositif diagonal
Soit un dispositif décrit par la représentation d'état avec A une matrice diagonale. Ce dispositif est commandable si et uniquement si l'ensemble des lignes de la matrice B sont non nulles.
Critère de Kalman pour la commandabilité des dispositifs linéaires invariants
Dans un cas plus général, le dispositif est commandable si et uniquement si :
La matrice est nommée la matrice de commandabilité, et ses colonnes se calculent de façon itérative : Ak + 1B = A * AkB.
Dualité commandabilité / observabilité
Il existe un principe de dualité entre la commandabilité et l'observabilité : soient deux dispositifs :
- S est observable si et uniquement si S * est commandable
- S est commandable si et uniquement si S * est observable
- Un dispositif à la fois commandable et observable est dit minimal.
Stabilisabilité
La commandabilité est une propriété structurelle forte du dispositif. Il est fréquemment suffisant d'utiliser la propriété de stabilisabilité. Cette dernière propriété peut se définir de plusieurs façons équivalentes, un dispositif est dit stabilisable ssi :
- Ses pôles non commandables sont stables, i. e. les variables non commandables sont naturellement stables.
- Il existe une commande par retour d'état U (t) = − KX (t) tel que la matrice (A − BK) soit Hurtwitz. C'est une propriété importante, car comme le terme le laisse entrevoir il est impossible de stabiliser un dispositif qui n'est pas stabilisable.
Forme canonique pour la commandabilité
Il est fréquemment intéressant de séparer les variables d'état commandables des autres. Notons χ la partition commandable du vecteur d'état, et ξ le reste du vecteur d'état, non commandable. Le dispositif s'écrit alors :
La forme canonique pour la commandabilité est caractérisée par l'absence des termes A21 et B2 qui sont par conséquent nuls. Sous cette forme, le dispositif est stabilisable ssi la matrice A22 est Hurtwitz.
- (en) Controllability de PlanetMath
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