Commandabilité

Un dispositif est dit commandable si quel que soit x l'état à l'instant d'origine, et quel que soit x l'état à l'instant final, il existe une commande u, appliquée sur un intervalle de temps fini, qui sert à rejoindre l'état final partant de l'état d'origine.



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Un dispositif est dit commandable si quel que soit x (ti) l'état à l'instant d'origine, et quel que soit x (tf) l'état à l'instant final, il existe une commande u (t) , appliquée sur un intervalle de temps fini [ti;tf], qui sert à rejoindre l'état final partant de l'état d'origine.

On considérera dans cet article les dispositifs linéaires invariants (SLI) définis par la représentation d'état suivante :

\begin{cases} \dot X = A X + B U \\ Y = C X + D U \end{cases}

Dispositif diagonal

Soit un dispositif décrit par la représentation d'état \begin{cases} \dot X = A X + B U \\ Y = C X \end{cases} avec A une matrice diagonale. Ce dispositif est commandable si et uniquement si l'ensemble des lignes de la matrice B sont non nulles.

Critère de Kalman pour la commandabilité des dispositifs linéaires invariants

Dans un cas plus général, le dispositif est commandable si et uniquement si :

rang(\mathcal{C}) = rang\begin{bmatrix}B& AB& ...& Aˆ{n-1}B\end{bmatrix} = n

La matrice \mathcal{C} est nommée la matrice de commandabilité, et ses colonnes se calculent de façon itérative : Ak + 1B = A * AkB.

Dualité commandabilité / observabilité

Il existe un principe de dualité entre la commandabilité et l'observabilité : soient deux dispositifs :


S :   \begin{cases}\dot X = AX+BU \\ Y=CX\end{cases}

Sˆ* : \begin{cases}\dot Xˆ* = AˆTXˆ*+CˆTUˆ* \\ Yˆ*=BˆTXˆ*\end{cases}


Stabilisabilité

La commandabilité est une propriété structurelle forte du dispositif. Il est fréquemment suffisant d'utiliser la propriété de stabilisabilité. Cette dernière propriété peut se définir de plusieurs façons équivalentes, un dispositif est dit stabilisable ssi :

Forme canonique pour la commandabilité

Il est fréquemment intéressant de séparer les variables d'état commandables des autres. Notons χ la partition commandable du vecteur d'état, et ξ le reste du vecteur d'état, non commandable. Le dispositif s'écrit alors :

 \begin{bmatrix} \dot \chi \\ \dot \xi \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \chi \\ \xi \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} B_1 \\ 0 \end{bmatrix}U

La forme canonique pour la commandabilité est caractérisée par l'absence des termes A21 et B2 qui sont par conséquent nuls. Sous cette forme, le dispositif est stabilisable ssi la matrice A22 est Hurtwitz.

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"... selectionnable et commandable."

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