Observabilité

On considérera dans cet article les dispositifs linéaires invariants définis par la représentation d'état suivante ...



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  • Plusieurs systèmes ont été mis au point avec une application plus au moins..... est dit totalement observable si, pour chaque état d'origine X... matrice d'observabilité est de rang 2N, nombre des composantes du vecteur d'état [83]... (source : dspace.uniroma2)
  • système et la correction d'éventuelles erreurs de fonctionnement....... avoir cette observabilité est donnée par : Rang (OBS) =n... vecteur d'état X) est observable par le capteur i si et uniquement si :... (source : univ-valenciennes)

On considérera dans cet article les dispositifs linéaires invariants (SLI) définis par la représentation d'état suivante :

\begin{cases} \dot X = A X + B U \\ Y = C X + D U \end{cases}

Un dispositif est dit observable si l'observation de ses entrées et sorties pendant un intervalle de temps fini [ti;tf] sert à retrouver l'état d'origine x (ti) . En réalité, dans la mesure où il est envisageable pour les SLI d'avoir une solution analytique, l'observabilité est par conséquent une propriété intéressante qui nous permet d'affirmer qu'on peut connaître l'état x (t) à tout instant compris dans l'intervalle [ti;tf].

Critère de Kalman pour l'observabilité des dispositifs linéaires invariants

Dans un cas plus général, le dispositif est observable si et uniquement si :

rang(\mathcal{O}) = rang\begin{bmatrix}C\\ CA\\ ...\\ CAˆ{n-1}\end{bmatrix} = n

La matrice \mathcal{O} est nommée la matrice d'observabilité, et ses lignes se calculent aisément de façon itérative : CAk + 1 = CAk * A.

Dualité observabilité / commandabilité

Il existe un principe de dualité entre l'observabilité et la commandabilité : soient deux dispositifs :


S :   \begin{cases}\dot X = AX+BU \\ Y=CX\end{cases}

Sˆ* : \begin{cases}\dot Xˆ* = AˆTXˆ*+CˆTUˆ* \\ Yˆ*=BˆTXˆ*\end{cases}

Détectabilité

L'observabilité est une propriété structurelle forte du dispositif. Il est fréquemment suffisant d'utiliser la propriété de détectabilité. Cette dernière propriété peut se définir de plusieurs façons équivalentes, un dispositif est dit détectable ssi :

Forme canonique pour l'observabilité

Il est fréquemment intéressant de séparer les variables d'état observables des autres. Notons χ la partition observable du vecteur d'état, et ξ le reste du vecteur d'état, non observable. Le dispositif s'écrit alors :

 \begin{bmatrix} \dot \chi \\ \dot \xi \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{11} & 0 \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \chi \\ \xi \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} B_1 \\ B_2 \end{bmatrix}U

 y = \begin{bmatrix} C_1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \chi \\ \xi \end{bmatrix}

La forme canonique pour l'observabilité est caractérisée par l'absence des termes A12 et C2 qui sont par conséquent nuls. Sous cette forme, le dispositif est alors détectable ssi la matrice A22 est Hurtwitz.

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