Observateur d'état

En automatique et en théorie de l'information, un observateur d'état est une extension d'un modèle représenté sous forme de représentation d'état.



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Page(s) en rapport avec ce sujet :

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  • et de les amener jusqu'à la correction par retour d'état et observateur dans le cas... Le retour d ‘état. - L'observabilité. Dualité. L'observateur d'état.... (source : luno-edu)

En automatique et en théorie de l'information, un observateur d'état est une extension d'un modèle représenté sous forme de représentation d'état. Quand l'état d'un dispositif n'est pas mesurable, on construit un observateur qui sert à reconstruire l'état à partir d'un modèle du dispositif dynamique et des mesures d'autres grandeurs.

La théorie de l'observateur d'état déterministe a été introduite dans les années soixante par Luenberger pour les dispositifs linéaires. Kalman a aussi formulé un observateur en considérant un dispositif linéaire stochastique. Pour les dispositifs non-linéaires, l'observation reste un domaine où la recherche est particulièrement active, mais l'utilisation la plus commune est l'emploi d'un filtrage de Kalman étendu (EKF).

Architecture avec un observateur

On utilise la notation "chapeau" pour exprimer une estimation. Si X représente l'état réel du dispositif non mesuré, \hat X représente l'estimation de l'état faite par l'observateur.

Image:Observateur detat 1.png

L'estimation de l'état se fait en recopiant de façon virtuelle la dynamique du dispositif en prenant en compte la commande U mais également les sorties du dispositifs (les mesures) Y dans l'objectif de corriger les écarts éventuels.

Observateur de Kalman

Soit le dispositif linéaire suivant :

\begin{cases} \dot X = A X + B U \\ Y = C X \end{cases}

Un observateur dynamique a la forme suivante :

\begin{cases} \dot \hat X = A \hat X + B U + L (Y - \hat Y) \\ \hat Y = C \hat X  \end{cases}

On vient corriger l'évolution de l'état grâce au modèle selon l'écart constaté entre la sortie observée et la sortie reconstruite par l'observateur : (Y - \hat Y).

On peut réécrire l'observateur de la manière suivante :

\dot \hat X = (A - LC) \hat X + B U + L Y

on vérifie quoique l'observateur reconstruit l'état X selon la commande U et des mesures Y comme sur le schéma ci-dessus.

La matrice L est nommée matrice de gain et doit être choisie de façon à ce que l'erreur sur l'état converge exponentiellement vers 0, soit \tilde X=(\hat X - X) \to 0. Pour cela, il suffit de choisir L telle que la matrice (A-LC) soit une matrice Hurtwitz, c'est-à-dire que ses valeurs propres soient à parties réelles négatives dans le cas continu ou possèdent un module inférieur à 1 dans le cas discret.

Commande par retour d'état reconstruit par un observateur de Kalman

L'observateur linéaire de Kalman - Luenberger possède une caractéristique intéressante connue sous le nom de principe de séparation : dans le cas d'une commande linéaire par retour d'état, les travaux de synthèse de commande et de synthèse d'observateur peuvent se faire de façon indépendante. En effet, si le dispositif commandé est stable, et si l'observateur ainsi conçu est stable (i. e. les matrices ABK et ALC sont Hurtwitz) alors le dispositif commandé par retour de l'état reconstruit est stable.

En effet, considérons le dispositif linéaire invariant suivant, observable et commandable, pourvu d'un observateur de Kalman - Luenberger :

\begin{cases} \dot X = A X + B U \\ Y = C X \end{cases}
\begin{cases} \dot \hat X = A \hat X + B U + L (Y - \hat Y) \\ \hat Y = C \hat X \end{cases}

En réalisant un bouclage par retour d'état U = -K \hat X, la dynamique du dispositif bouclé s'écrit alors :

\begin{cases} \dot X = A X - B K \hat X \\ \dot \hat X = (A - BK) \hat X  + L (Y - C \hat X) \end{cases}

On peut faire le changement de variable suivant, pour écrire l'erreur de reconstruction :

\tilde X = X - \hat X d'où, en remplaçant, \dot \tilde X = (A - LC) \tilde X

En écrivant un nouveau dispositif augmenté, constitué de l'état et de l'erreur de reconstruction, on obtient :

 \begin{pmatrix} \dot X \\ \dot \tilde X \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A-BK & BK \\ 0 & A-LC\end{pmatrix} \begin{pmatrix} X \\ \tilde X \end{pmatrix}

Cette matrice est triangulaire par blocs, et donc le spectre du dispositif bouclé est constitué de l'union des spectres des blocs diagonaux, c'est-à-dire l'union des spectres du dispositif d'origine commandé, et du dispositif d'origine observé. Ainsi la synthèse d'un dispositif commandé par un retour d'état reconstruit par un observateur est spécifiquement simple pour les dispositifs linéaires invariants, puisque on peut synthétiser les deux fonctions scindément.

Image:Observateur detat 2.png

Quelques remarques :

Bibliographie

Voir aussi

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