Stabilité de Lyapunov
En mathématique et en automatique, la notion de stabilité de Lyapunov apparait dans l'étude des dispositifs dynamiques. L'idée de Aleksandr Lyapunov consiste à dire que si l'ensemble des points d'un dispositif démarrent autour d'un point x...
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- ... Théorème 1 (Stabilité suivant le critère de Lyapunov) [8]... Si ces trois conditions sont satisfaites, x = 0 est un point stable, ... (source : jcge2008.ec-lyon)
- ... See Also : asymptotically stable, attracting fixed point, stable fixed point, neutrally stable fixed point, unstable fixed point... (source : biblion.epfl)
- Les méthodes de stabilité de Lyapunov sont utilisées pour établir la commande de position effective...... Un réseau de puissance semble être un dispositif stable et ..... toute sorte de systèmes de commutation, qui injectent... (source : lss.supelec)
En mathématique et en automatique, la notion de stabilité de Lyapunov apparait dans l'étude des dispositifs dynamiques. L'idée de Aleksandr Lyapunov consiste à dire que si l'ensemble des points d'un dispositif démarrent autour d'un point x et que tous ces points restent autour de ce point x, alors x est stable au sens de Lyapunov. De plus, si tous ces points convergent vers x alors x est asymptotiquement stable.
Les stabilités
Il existe des dizaines de types de stabilités différentes pour caractériser l'évolution d'un point vers son état stable. les principaux types de stabilité sont abordés ici.
Soit un dispositif autonome où est une application supposée localement lipschitzienne sur . On suppose que l'origine x = 0 est un point d'équilibre du dispositif qui satisfait .
Le point d'équilibre du dispositif est :
- stable au sens de Lyapunov si asymptotiquement stable si le point est stable et que lorsque
- exponentiellement stable si le point est stable et que :
Théorème de Lyapunov (1892)
On présentera ici le théorème sans dépendance temporelle.
S'il existe une fonction dite de Lyapunov telle que :
- non décroissantes telles que
- non décroissante et que
Alors le dispositif est trivialement asymptotiquement stable.
La première condition ne dépend pas du dispositif. Généralement, la fonction de Lyapunov possède une forme quadratique en x : avec P définie positive (P = PT > 0)
Dans le cas linéaire, si le dispositif est défini par le théorème de Lyapunov est le suivant (formulation originale de Lyapunov) :
Hurtwitz le dispositif est asymptotiquement stable
On voit ici la puissance du théorème de Lyapunov car il sert à conclure sur la stabilité d'un dispositif dynamique grâce à une équation algébrique. Toute la difficulté est de trouver une fonction de Lyapunov V (x) dans le cas général ou la matrice P dans le cas linéaire. C'est à partir de ce théorème qu'on formule des LMI (Linear Matrix Inequalities) servant à trouver les matrices correctes en utilisant des méthodes d'optimisation pour conclure sur la stabilité mais également sur la robustesse des dispositifs dynamiques.Le théorème de Lyapunov est aussi à la base des commandes de type sliding mode.
Bibliographie
- A M Liapunov, The General Problem of the Stability of Motion, Taylor & Francis
- Brigitte D'Andréa-Novel, Michel Cohen de Lara, Commande linéaire des dispositifs dynamiques, Presses de l'Ecole des Mines de Paris
- Hassan K. Khalil, Non linear Systems, Prentice Hall
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