Découplage

L'objectif du découplage est de transformer les fonctions de transfert ou les représentations d'états multivariables pour pouvoir commander chaque sortie indépendamment des autres.



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  • En référence à la figure 7, les cœfficients R et T sont des fonctions des ... Le découplage est acceptable lorsque le module du cœfficient de transfert T... (source : freepatentsonline)

L'objectif du découplage est de transformer les fonctions de transfert ou les représentations d'états multivariables pour pouvoir commander chaque sortie indépendamment des autres.

Soit le dispositif :  \dot X = A \cdot X + B \cdot U et  Y = C \cdot X avec dim x = m; dim u = p; dim y = p

d'où :  Y = F(s) \cdot U(s) avec F (s) = C (sIA) − 1B

F est nommé matrice de transfert carré.

Approche Fonction de transfert :

En boucle fermé : Y (s) = [I. p + F (s). C (s) ] − 1F (s) C (s) Yd (s) avec Yd la consigne

Le découplage consiste à diagonaliser le fonction de transfert en boucle fermé (FTBF).

FTBF = [I. p + F (s). C (s) ] − 1F (s) C (s)

Donc le correcteur C (s) doit vérifier : [Ip + F (s) C (s) ] − 1F (s) C (s) = Ω (s) avec Ω (s) = matrice diagonale de λ1 (s)... λn (s)

On a donc : C (s) = F (s) − 1Ω (s) [I − Ω (s) ] − 1

Approche représentation d'état :

Soit le dispositif :  \dot X = A \cdot X + B \cdot U et  Y = C \cdot X

on a y = \begin{bmatrix}y_1\\\vdots\\y_p\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}C_1ˆT\\\vdots\\C_pˆT\end{bmatrix}X

Pour y1 : y_1 = C_1ˆT.x

\dot y_1 = C_1ˆT
ot x = C_1ˆT(Ax+Bu) = C_1ˆT x + C_1ˆT°u


Si C_1ˆT°= 0 alors \dot y_1 = C_1ˆT x

d'ou : \ddot y_1 = C_1ˆT x = C_1ˆT Ax+Bu) = C_1ˆT 2x + C_1ˆTABu


Si C_1ˆT B = 0 alors \ddot y_1 = C_1ˆT 2.x

...


soit j le plus petit entier tel que C_1ˆTAˆjB \not= 0

alors y_1ˆ{(j+1)}(t)=C_1ˆTAˆ{j+1}x+C_1ˆTAˆjBu


De meme pour les autres sorties : y_iˆ{(d_i+1)}(t)=C_iˆTAˆ{d_i+1}x+C_iˆTAˆ{d_i}Bu

On obtient \begin{bmatrix}y_1ˆ{d_1+1}\\\vdots\\y_pˆ{d_p+1}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}C_1ˆTAˆ{d_1+1}\\\vdots\\C_pˆTAˆ{d_p+1}\end{bmatrix}x + \begin{bmatrix}C_1ˆTAˆ{d_1}B\\\vdots\\C_pˆTAˆ{d_p}B\end{bmatrix}u = v

Y = Fx + Lu = v


on trouve par conséquent u = L − 1[vFx]

Le dispositif est découplale ssi L est inversible.


Le dispositif découplé est par conséquent transformé en sous-dispositifs : \frac{Y_i(s)}{V_i(s)}=\frac 1{sˆ{d_i+1}} On aboutit à des intégrateurs.

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