Commande par retour d'état

En automatique, la commande par retour d'état est un moyen d'asservir un dispositif dynamique.



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  • des systèmes à base de composants de l'électronique.... La structure de base d'une commande à retour d'état est .... placement des pôles.... (source : univ-setif)

En automatique, la commande par retour d'état est un moyen d'asservir un dispositif dynamique.

Principe

La commande par retour d'état est une méthode employée en asservissement pour placer les pôles en boucle fermé dans le plan p. L'intérêt de cette technique est que les pôles, correspondant à la valeur propre du dispositif, vont influencer la dynamique du dispositif bouclé.

Avec le dispositif en boucle fermée sous la forme de la représentation d'état,

\dot{\underline{x}}=\textbf{A}\underline{x}+\textbf{B}\underline{u};
\underline{y} = \textbf{C}\underline{x}+\textbf{D}\underline{u}

alors les pôles du dispositif sont les racines de l'équation :

\left|p\textbf{I}-\textbf{A}\right|=0.

La commande par retour d'état s'opère sur le vecteur entrée \underline{u}. On a alors une entrée proportionnelle (au sens matriciel) à l'état,

\underline{u}=-\textbf{K}\underline{x}.

Ceci replacé dans les équations au dessus donne,

\dot{\underline{x}}=(\textbf{A}-\textbf{B}\textbf{K})\underline{x};
\underline{y} = (\textbf{C}-\textbf{D}\textbf{K})\underline{x}.

Les racines du dispositif asservi sont données par l'équation, \det\left[p\textbf{I}-\left(\textbf{A}-\textbf{B}\textbf{K}\right)\right]. Ce terme doit être identiqueé à celui du polynôme caractéristique de l'asservissement désiré. On obtient alors les valeurs de la matrice de retour \textbf{K} qui va forcer les valeurs propres en boucle fermée à l'endroit spécifié par le polynôme caractéristique de l'asservissement.

Exemple

On considère un dispositif décrit de la façon suivante :

\dot{\underline{x}}=\begin{bmatrix}0 & 1 \\ -2 & -3\end{bmatrix}\underline{x}+\begin{bmatrix} 0 \\ 1\end{bmatrix}\underline{u}

En boucle ouverte, le dispositif a pour pôle p = − 1 et p = − 2. On suppose qu'on souhaite que le dispositif asservi ait des valeurs propres situées à p = − 1 et p = − 5. Le polynôme caractéristique est par conséquent p2 + 6p + 5 = 0.

En suivant la méthode indiquée auparavant, \textbf{K}=\begin{bmatrix} k_1 & k_2\end{bmatrix}, et on a ainsi l'équation

\left|p\textbf{I}-\left(\textbf{A}-\textbf{B}\textbf{K}\right)\right|=det\begin{bmatrix}p& -1 \\ 2+k_1 & p+3+k_2 \end{bmatrix}=pˆ2+(3+k_2)p+(2+k_1).

La résolution donne alors

\textbf{K}=\begin{bmatrix}3 & 3\end{bmatrix}.

Donc, fixer \underline{u}=-\textbf{K}\underline{x} va positionner les pôles en boucle fermée à l'endroit désiré, donnant au dispositif de commande les performances voulues.

Remarques

Ceci fonctionne seulement pour les dispositifs à une entrée car les dispositifs à plusieurs entrées n'ont pas une matrice K unique. le choix des meilleurs valeurs de K n'est pas trivial. On peut alors utiliser la régulation linéaire quadratique.


Notes et références

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