Commande LQG

En automatique, la Commande linéaire quadratique gaussienne dite commande LQG est une méthode qui sert à calculer le gain d'une commande par retour d'état dans un soucis spécifique de diminuer les bruits blancs.



Catégories :

Automatique - Robotique

Recherche sur Google Images :


Source image : personnel.supaero.fr
Cette image est un résultat de recherche de Google Image. Elle est peut-être réduite par rapport à l'originale et/ou protégée par des droits d'auteur.

Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • 4.1 Principe général de la commande LQG.... deux matrices de pondération avec, comme auparavant, . \begin{displaymath} Q=Qˆ{T}\geq 0\... par l'équation classique du filtre de KALMAN à condition que le triplet \left (A, M Wˆ{1/2}, C\... (source : personnel.supaero)
  • On se propose tout d'abord de mettre en place une commande LQG.... On a par conséquent à résoudre les deux équations de Riccati suivantes :... (source : laas)
  • Optimal control ; Multivariable control ; Polynomial equation ; Matrix equation... Commande optimale ; Commande multivariable ; Equation polynomiale... (source : cat.inist)

En automatique, la Commande linéaire quadratique gaussienne dite commande LQG est une méthode qui sert à calculer le gain d'une commande par retour d'état dans un soucis spécifique de diminuer les bruits blancs.

La commande LQG réunit un controleur LQ (Linear Quadratic) et un estimateur de Kalman pouvant être calculé indépendemment suivant le principe de séparation. La commande LQ garantie une certaine robustesse de la boucle fermée, ce qui n'esr pas le cas de la boucle LQG.

Caractère optimal

Si on considère le dispositif suivant :

\dot{\mathbf{x}}(t) = A(t) \mathbf{x}(t) + B(t) \mathbf{u}(t) +  \mathbf{v}(t)
\mathbf{z}(t) = C(t) \mathbf{x}(t) + \mathbf{w}(t),

z est le vecteur de variables contrôlées; u est le vecteur de commande; v est un bruit blanc gaussien sur l'état et w un bruit blanc gaussien sur la sortie.

Le critère optimisé standard est de type temporel et permet d'opérer un compromis entre le temps de convergence et la consommation de commande : J=\int_{0}ˆ{T}(zˆtQz+uˆrRu)dt Où : z est le vecteur de variables contrôlées; u est le vecteur de commande; Q et R sont des matrices de pondérations définies positives


Le controleur LQG est la solution des équations :

 \dot\hat{\mathbf{x}}(t) = A(t)\hat{\mathbf{x}}(t) + B(t){\mathbf{u}}(t)+K(t) \left( {\mathbf{y}}(t)-C(t)\hat{\mathbf{x}}(t) \right),  \hat{\mathbf{x}}(0) = E \left( {\mathbf{x}}(0) \right)
 {\mathbf{u}}(t)= -L(t) \hat{\mathbf{x}}(t).

La matrice {\mathbf{}}K(t) est nommée gain de Kalman du filtre de Kalman associée à la première équation. Ce filtre estime l'état du dispositif \hat{\mathbf{x}}(t). Le gain de Kalman {\mathbf{}}K(t) est calculé à partir des matrices {\mathbf{}}A(t), C(t) est les deux matrices de covariances \mathbf{}V(t), \mathbf{}W(t) des bruits blancs gaussiens \mathbf{v}(t) et \mathbf{w}(t) et de l'état d'origine E\left({\mathbf{x}}(0){\mathbf{x}}'(0) \right). Le gain de Kalman est calculé par résolution de l'équation de d matrix Riccati,

 \dot{P}(t) = A(t)P(t)+P(t)A'(t)-P(t)C'(t){\mathbf{}}Wˆ{-1}(t)
C(t)P(t)+V(t),
 P(0)= E \left({\mathbf{x}}(0){\mathbf{x}}'(0) \right).

Soit P(t), 0 \leq t \leq T le gain de Kalman est ,

 {\mathbf{}}K(t) = P(t)C'(t)Wˆ{-1}(t)


La matrice {\mathbf{}}L(t) est le gain du correcteur LQ. Cette matrice est déterminée par es matrices {\mathbf{}}A(t), B(t), Q(t), R(t) et {\mathbf{}}F par résolution de l'équation de Riccati,

 -\dot{S}(t) = A'(t)S(t)+S(t)A(t)-S(t)B(t)Rˆ{-1}(t)B'(t)S(t)+Q(t),
  {\mathbf{}}S(T) = F.

Soit {\mathbf{}}S(t), 0 \leq t \leq T il vient,

 {\mathbf{}}L(t) = Rˆ{-1}(t)B'(t)S(t).

On peut observer la similarité entre les deux équations différentielles : la première est dans le sens de la flèche du temps alors que la seconde est à rebours. Cela vient de la dualité entre les problèmes de contrôle et d'estimation.

Lorsque {\mathbf{}}A(t), B(t), C(t), Q(t), R(t) et les matrices de covariances \mathbf{}V(t), \mathbf{}W(t) ne dépendent pas du temps, le controleur LQG est invariant dans le temps et les équations deviennent des équations de Riccati (équation de Riccati) algébriques.


La commande LQG est optimale au sens de la norme H2. Pour faire le lien avec les techniques fréquentielles de type H : il est envisageable de réaliser un optimisation dans le domaine fréquentiel au sens de la norme H2 sur le même schéma de synthèse d'une commande H. La synthèse H2 peut être réalisée sur les mêmes entrées-sorties que la synthèse Hinifni, tout juste sera-t-il indispensable de régler les pondérations fréquentielles.


Recherche sur Amazone (livres) :




Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Commande_LQG.
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 14/04/2009.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.
Accueil Recherche Aller au contenuDébut page
ContactContact ImprimerImprimer liens d'évitement et raccourcis clavierAccessibilité
Aller au menu